수학은 함수가 절반을 차지한다고 할 정도로 함수는 수학에서 큰 부분을 차지한다. 수학에서 중요하긴 하지만 일상생활에서 중요하지도 않은 함수를 왜 배우냐고 생각할 수도 있다.이 책은 함수를 왜 배우는지에 대한 의문에서 출발한다. 함수의 '함'은 담다라는 뜻을 갖는 상자를 뜻하는 한자이다. 따라서 함수를 한자 그대로 해석하면 함수는 '담겨있는 수' 또는 '수를 담는 상자'일 것이다. 그렇다면 함수는 수와 관련된 상자라고도 할 수 있다.
그리고 함수는 일상생활에서도 많이 쓰이는 도구라 할 수 있다. 컴퓨터 프로그래밍에서 함수는 필수이기도 하고 일상생활에서 관계를 표현하는 말로 함수라는 단어를 사용하기도 한다
그렇다면 함수는 무엇인지 생각해보지 않을 수 없다. 중학교 교과서에 나오는 함수의 정의를 살펴보면 ' 두 변수 x, y에 대하여 x의 값이 정해지면 y의 값이 오직 하나만 정해질 때 y는 x의 함수라 한다' 고 정의되어 있다. 이 책에서는 함수는 대응이고 프로그램이기에 그 존재감을 포착하기가 쉽지 않다고 하였다. 그리고 그 존재를 분명하게 드러나기 위해 기호가 필요하며 함수를 기호로 표시한다고 하였다.
또한 함수는 그래프로도 표현될 수 있다. 인간은 감각 중에서 시각을 특히 발달시켜 온 동물이다. 인간은 보이는 것은 믿게 되지만 보이지 않으면 마음에서도 지워진다. 함수를 가장 확실하게 각인시키는 방법은 역시나 보이게 하는 것으로 이것이 바로 그래프라고 저자는 설명하고 있다. 중요한 것은 어떤 함수가 어떤 모양의 그래프로 표현되는가이다. 함수마다 그래프의 특징이 있고 어떤 함수는 어떤 모양의 그래프인지, 수식의 어떤 요인이 그래프에 어떻게 영향을 미치는지 알아야 한다. 함수의 수식에 공통점이 있으면 함수의 그래프에도 공통점이 있다. 그리고 수식의 차이 때문에 함수의 그래프가 달라지기도 한다.
이 책에서는 꼭 알아야 할 함수를 정리하였다. 함수의 명칭이나 함수식, 그리고 함수의 그래프를 특징을 연결해서 알아두어야 한다고 강조하고 있다. 그래프가 직선인 함수들과 곡선인 함수들이 있으며 직선인 함수에는 항등함수, 상수함수, 정비례함수, 일차 함수 등이 있다. 그리고 직선이 아닌 그래프를 갖는 함수에는 반비례함수, 이차함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등이 있다.
그렇다면 이 함수를 어떻게 공부하면 가장 효율적일지 생각해 볼 수 있다. 함수는 워낙 다양한 모습으로 변신을 한다. 그러다보니 함수를 공부하면서 헷갈리거나 잘못 이해하는 경우도 있다. 따라서 함수의 개념을 정확히 이해해야 한다. 몇 가지 주의할 부분은 다음과 같다. 함수라고 다 규칙이 있는 것은 아니다. 주로 접하는 함수들은 규칙이 있는 함수들이지만 그렇다고 규칙이 있어야만 함수인 것은 아니다. 함수는 순서쌍을 만드는 프로그램으로 그 순서쌍에는 규칙이 있어도 되고 없어도 된다. 대응만 제대로 시켜준다면 규칙성이 있고 없고는 선택사항이다. 순서쌍의 집합만 만들어내면 모두 함수라고 생각하면 된다. 또한 직선이라고 해서 모두 일차함수인 것은 아니다. 조건에 따라 직선의 함수 여부가 달라진다. 예를 들면 상수함수는 직선인 함수이지만 일차함수가 아닌 것과 같다. 그리고 그래프가 모두 함수인 것은 아니다. 함수가 아닌 방정식의 그래프도 있다. 함수의 그래프는 고유한 특징이 있다. x의 각 원소에 y의 각 원소가 오직 하나씩 대응해야 한다. 정의역의 모든 x에 대해 그 점을 지나고 y축에 평행한 직선을 그었을 때 함수의 그래프는 그 직선과 오직 한 점에서만 만난다. 그 특징이 함수의 조건이기 때문이다. 따라서 함수의 그래프인지 알고 싶거든 정의역의 모든 x축에 대해 y와 평행한 직선을 그어 그 직선과 그래프의 교점이 몇 개인지 세어보자. 교점이 없거나 두 개 이상이라면 함수의 그래프가 아니기 때문이다.
다시 본질적인 질문으로 돌아와 함수는 수학적인 개념이지만 함수를 어디에 사용할 까 다시 생각해보면 다음과 같다. 함수는 둘 사이의 특별한 관계를 표현하는 것으로 함수와 관련된 일상적 표현도 많으며 함수 역할을 하는 프로그램도 많다. 일상생활에서 함수와 관련된 제도들도 있다. 주민등록번호나 자격증 번호 같은 경우 모든 사람에게 번호를 하나씩 할당한다. 이는 함수의 조건을 만족하는 것이다. 함수라는 말은 17세기에 등장했고 함수의 등장은 미적분과도 맞물려있다. 근데 수학 최대의 성과라는 미적분은 함수를 토대로 한 수 학으로 함수는 함수 이전의 수학을 한차원 높은 수학으로 바꾸었다.
본 책을 읽으면서 함수의 기술적인 부분만 서술하지 않을까 생각했었지만 이에 대해 왜 그런지 다양한 이야기를 통해 설명하고 있어 함수가 어렵기만 하다는 편견을 벗어날 수 있도록 해주었다. 그리고 함수가 우리 생활에서 갖는 중요성도 생각해볼 수 있었고 함수를 공부함에 있어 이런 흐름을 알고 함수를 배운다면 보다 폭넓은 관점에서 함수를 이해할 수 있지 않을까 생각된다.