수학의 눈으로 바라보면 세상의 변화가 한눈에 들어온다. 칼 세이건은 수학이란 우주 어디에서나 통용될 수 있는 보편적인 언어라고 했다. 그중에서도 미적분은 세상의 변화를 설명하는 언어다. 특히 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현황, 사회의 변화까지 선명하게 드러난다. 미분을 통해서 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분을 통해서 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다.
과속방지카메라는 미분을 활용한 대표적인 예로 꼽힌다. 고정식 단속카메라가 자동차의 규정 속도를 측정할 때의 기준은 매순간의 속도다. 많은 사람이 카메라가 속도를 측정한다고 생각하는데, 사실 고정식 단속카메라는 단지 통과 차량의 번호판을 찍는 역할만 한다. 속도 측정은 아스팔트 바닥에 설치된 감지선이 담당한다. 도로 바닥에 일정한 간격으로 2개의 와이어 루프가 설치되어 있는데 차량이 이를 밟고 지나갈 때 통과시간을 측정한다. 감지선이 금속 물체가 통과하는 것을 감지하는 것은 영국의 물리학자 마이클 패러데이가 발견한 유도전류 법칙에 까른 것이다. 자량의 속도 V는 두 감지선 사의 거리를 통과시간으로 나누어 구한다. 고정식 단속카메라는 순간속도 즉 시간에 따른 위치 변화율에 매우 근사한 값을 측정한다고 볼 수 있다,
미분에서 상태량과 변화량을 구별하는 것처럼 적분에서는 합쳐지는 양과 합쳐진 결과량을 구별해야 한다. 코로나19 확지자를 예로 들면, 일일 확진자와 누적 환진자의 차이와 같다. 일일 확진자를 모두 합하면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다.
주파수도 적분 변수로 이용할 수 있다. 주파수당 신호를 적분하면 여러 주파수가 중첩된 복잡한 신호가 만들어진다. 반대로 복잡한 신호를 분해하면 주파수가 단일한 여러개의 정현차로 나누어진다. 푸리에 변환과 역변환이다.